Число это одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение и в физике, механике, астрономии, химии и многих других науках.
Числами постоянно пользуются в повседневной жизни. В школьном курсе мы будем постепенно знакомиться со всеми числами, в том числе с натуральными, действительными, рациональными и иррациональными. Но в данной работе мы будем говорить о мало знакомых нам числам, а именно совершенных, дружественных и фигурных числах.
Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.
Сами пифагорейцы высоко ценили результаты, полученные ими в теории гармонии, ибо они подтверждали их идею, что числа определяют все. Число для пифагорейцев – это собрание единиц (только целое положительное число). Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые располагались в виде правильных геометрических тел. При этом получали ряды «треугольных», «квадратных», «пятиугольных» и других «фигурных» чисел. Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д.
«Треугольные» числа это числа 1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10, общее выражение для них 1+ 2+ 3+…+ п =п(п -1)/2.
Рассмотрим «упаковки» шаров в равностороннем треугольнике. Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках, называют треугольными. «Квадратные» числа это числа 1; 1+3=4; 1+3+5=9; 1+3+5+7=16; …; 1+3+5+…(2п-1)=п2.
Пифагорейцы определили также «кубические» числа 1; 8; 27;…. Отметим, что наши выражения «квадрат» для числа п2 и куб для числа п3 являются пережитком пифагорейской терминологии.
Пифагорейцы рассматривали «пятиугольные» числа 1; 1+4=5; 1+4+7=12; 1+4+7+…+(3п-2)=п(3п-1)/ 2.
Совершенным числом называют натуральное число, равное сумме всех его собственных деталей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Так, совершенными числами являются числа 6 и 28, ибо 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14.
Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:
- Существует ли наибольшее чётное совершенное число?
- Существует ли нечетное совершенное число?
До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Было обнаружено правило, как искать четные совершенные числа. Это правило состоит в следующем: если число 2n-1 простое, то число 2n-1(2п-1) совершенное.
Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Пара натуральных чисел называется дружественной, если каждое из них равно сумме всех собственных делителей другого. Например, дружественную пару образует числа 220 и 284, так число 220 имеет делители 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 и 110, а число 284 – делители 1,2,4,71,142 и выполняются следующие равенства:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=220.
Все известные дружественные пары состоят либо из двух четных чисел, либо из двух нечетных. До сих пор не обнаружено дружественной смешанной пары, но вместе с тем и не доказано, что такой пары не существует. Неизвестно также, конечно или бесконечно число дружественных пар.
Приведём краткие сведения из интересной истории совершенных чисел и дружественных пар чисел.
Первых прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Этому числу уделяли много внимания математике, философы, богословы. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней; ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, так как оно первое из них, Следующим совершенным числом, известным древним грекам до Евклида, было число 28.
Евклид сделал первый важный шаг в построение теории совершенных чисел. Он доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2p-1 и 2p-1, где 2p-1 простое число, является совершенным числом. Отметим, что для этого необходимо, чтобы p было простым, хотя далеко не для всякого простого числа p число 2p-1 также является простым.
В течение почти двух тысяч лет люди знали только четыре совершенных числа. Неизвестно было, существуют ли другие совершенные числа, которые можно представить в виде 2, и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие этой формуле. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной привели к признанию божественности этих удивительных чисел.
Церковь учила, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа; тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но даже надежда на такую награду не смогла помочь математикам средневековья. Лишь в ХV в. было обнаружено пятое совершенное число. Им оказалось число 33550336, его можно получить по формуле Евклида при p = 13.
Через двести лет усиленными поисками новых совершенных чисел занялся французский физик, математик и богослов Марен Мерсенн. Он утверждал, что следующие шесть совершенных чисел должны иметь евклидовскую форму со значениями p, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Долгое время оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет. Оказалось, что не все утверждения Мерсенна были верны.
Он правильно предсказал значения p = 17, p = 19, p = 31, p = 127. Числа, полученные по формуле Евклида 2 при p = 67 и при p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Мерсенн «пропустил» совершенные числа со значениями p = 61, p = 89, p = 107. Всё это было обнаружено позже.
Л. Эйлер сумел найти новую теорему о таинственных и загадочных совершенных числах: все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Вопрос о том, существуют ли нечётные совершенные числа и каков их вид, остаётся открытым до u1085 нашего времени. И.М. Первушин нашёл девятое совершенное число – 2305843009213693951х260 , которое содержит тридцать семь цифр. Он совершил при этом настоящий вычислительный подвиг, так как считал без всяких вычислительных средств.
Мерсенн в своё время заметил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15-20 знаков (простое число Первушина имеет 19 знаков). Последующие совершенные числа находили с помощью вычислительных устройств, включая ЭВМ. В настоящее время известно 23 совершенных числа; последние пять чисел получаются по формуле Евклида соответственно при p = 4253, p = 4423, p = 9689, p = 9941 и p = 11213. Число 2 (2- 1) имеет 2561 знак, а число 2 (2 - 1) – 6751 знак.
Совершенные числа обладают рядом таинственных и вместе с тем замечательных свойств. Все эти числа являются «треугольными» (о таких числах говорилось выше). Каждое совершенное число есть сумма вида 1 + 2 + 3 + … + n. Далее, любое совершенное число, кроме 6, есть частичная сумма ряда из кубов нечётных чисел, т. е. равно 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) . Сумма обратных значений всех делителей совершенного числа, включая и само число, всегда равна 2. Например, для числа 28 имеем: 1//1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2.
Дружественные пары чисел являются обобщением совершенных чисел.Наименьшая дружественная пара чисел 220 и 284 была известна древним грекам. В 1636 г. Пьер Ферма указал новую дружественную пару чисел: 17296 и 18146. Рене Декарт нашёл третью дружественную пару чисел: 9363584 и 9437056. Ферма и Декарт независимо друг от друга установили правило образования дружественных пар чисел.
Леонард Эйлер опубликовал список 64 дружественных пар. Позже было обнаружено, что в двух случаях он ошибся. В 1830 г. Лежандр нашёл ещё одну дружественную пару чисел. В 1867 г. шестнадцатилетний итальянец Б. И. Паганини удивил математический мир своим сообщением о том, что числа 1184 и 1210 образуют дружественную пару. Это вторая по величине дружественная пара, однако её не заметили учёные, интересовавшиеся данным вопросом.
В настоящее время известно более 600 дружественных пар чисел, большинство из них найдено с помощью ЭВМ. Многие числа дружественных пар состоят более чем из 30 цифр.
Приведём некоторые примеры дружественных пар чисел: 2620 и 2924, 5020 и 5564, 6232 и 6363, 10744 и 10856, 12 285 и 14 595, 63020 и 76 084, 66928 и 66992, 67095 и 71145, 69615 и 87633.
Существуют еще числа близнецы. Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами. Ученые до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов.